목차

1 Introduction

2 모형식 소개

3 기대 결과

1 Introduction

• DLMs과 DLNMs은 시계열 회귀모형에 속함

  • 시계열을 여러 시계열들로 모형화하는데, 같은 시점뿐만이 아닌 이전 시점의 값도 포함시켜 모델링
  • 시간에 지연되는(delayed) 효과 반영 가능

• DLNMs는 DLMs을 비선형으로 확장시킨 모형에 해당

  • $X$들의 비선형적 효과까지 반영함으로써 좀 더 유연한(flexible) 적합을 가능하게 해줌

• 이러한 두 모형이 가장 많이 사용되는 도메인은 바로 생태학적 연구 영역

  • 환경적 요인(stressor)들로 어떤 outcome을 모델링하고자 할 때
  • 특정 예측변수 $X$(exposure)의 효과는 관측 시점 당시 뿐만이 아닌 시간에 지연되는(delayed) 효과가 빈번히 존재
  • 이러한 상황에 DLMs과 DLNMs은 꼭 필요로 되는 모형

2 모형식 소개

• 길이 $n$( $t=1, \cdots, n$ )인 시계열 $Y$를 1개의 exposure, 1개의 covariate로 모델링(lag = 1까지 고려)
• Distributed lag non-linear models $$g( \mu_t ) = \alpha + s_1(x_{t}; {\boldsymbol{\beta}_1}) + s_2(x_{t-1}; {\boldsymbol{\beta}_2}) + \gamma u_t,$$
  • 여기서 $\mu \equiv E(Y)$, $g$는 단조 연결 함수(monotonic link function)
  • 시계열 회귀를 이용해 환경 요인에 관한 연구 수행 시, 대부분 outcome은 count data에 해당
  • 여기서 $s$는 기저 함수(basis function)
  • 예측변수 $X$의 공간과 $X$의 lag dimension에서의 공간에 따른 outcome과의 관계를 동시에 표현
  • 이를 교차 기저(cross-basis)라고 칭함
  • 교차 기저를 정의함으로써 $X$가 $Y$에 미치는 효과 및 지연 효과를 동시에 선형 또는 비선형으로 모델링
  • $s_1$, $s_2$를 단순 선형 회귀, 2차 다항회귀(polynomial regression)에 관한 함수로 설정시: $$s_1(x_{t}; \beta_1) = \beta_{1} x_{t}, \ \ s_2(x_{t-1}; {\boldsymbol{\beta}_2}) = \beta_{21} x_{t-1} + \beta_{22} x^2_{t-1}$$ $$s_1(x_{t}; {\boldsymbol{\beta}_1}) = \beta_{11} x_{t} + \beta_{12} x^2_{t}, \ \ s_2(x_{t-1}; \beta_2) = \beta_{2} x_{t-1}$$

3 기대 결과

• 1987-2000년까지 시카고의 일별 사망자 수를 기온을 예측변수( $X$ )로 DLNMs을 이용해 모델링
• 기온 및 지연에 따른 RR 값의 변화를 표현한 그림:
  • RR의 추정은 21°C(reference value)를 기준으로 이루어짐
  • 기온이 낮은 경우 2~3일의 지연효과(lag 2~3)에서 사망의 RR이 피크에 도달
  • 기온이 높은 경우 지연 효과 없이 거의 즉시 사망의 RR이 피크에 도달
  • 높은 기온에서 2~3일 정도의 지연효과가 발생 시, 사망의 RR이 가장 높아 보임

3 기대 결과

• predictor-specific(-20°C, 0°C, 27°C, 33°C) lag-response 곡선

3 기대 결과

• lag-specific(0, 5) predictor-response 곡선

3 기대 결과

• Overall cumulative association
  • lag 30까지의 지연효과를 누적
  • 즉, 기온에 따른 전반적인 상대위험도를 나타냄

References

[1] Gasparrini, Antonio, Benedict Armstrong, and M.G. Kenward. “Distributed Lag Non-Linear Models.” Statistics in Medicine 29 (September 20, 2010): 2224–34. https://doi.org/10.1002/sim.3940.

[2] Gasparrini, Antonio. “Distributed Lag Linear and Non-Linear Models in R: The Package Dlnm.” Journal of Statistical Software 43 (July 1, 2011): 1–20. https://doi.org/10.18637/jss.v043.i08.